线性代数 · 第三章

向量

线性相关、极大无关组、向量空间与正交化

向量组及其线性相关性

$n$ 维向量可视为 $n\times1$ 列矩阵。若存在一组不全为零的数使

则向量组线性相关，否则线性无关。部分组相关可推出整体相关；整体无关可推出任意部分组无关。

$\beta$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性表示，当且仅当

向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 表示，意味着 $A$ 中每个向量都可由 $B$ 线性表示，等价于 $r(B)=r(B,A)$，并必有 $r(A)\le r(B)$。两个向量组能互相表示时称为等价，它们的秩相同；秩相同本身不能保证等价，还要位于同一生成空间。

极大线性无关组与秩

向量组的极大线性无关组是原组中的线性无关部分组，且原组其余向量都可由它表示。任意极大无关组所含向量个数相同，称为向量组的秩。

矩阵的行秩、列秩和矩阵秩相等。初等行变换不改变列向量组的线性关系方程，但会改变具体列向量；找列向量组的极大无关组时，应在原矩阵中取与阶梯形主元列对应的列。

向量空间

对加法和数乘封闭的非空向量集合是向量空间；子空间还必须包含零向量。向量空间的一组基是能张成整个空间的线性无关向量组，基向量个数为维数。

$\mathbb R^n$ 的自然基为 $e_1,\ldots,e_n$。若新基与旧基满足

则 $C$ 是从旧基到新基的过渡矩阵。坐标满足 $X=CY$，其中 $X$ 是旧基坐标，$Y$ 是新基坐标。

易错 基是有序向量组。变换基的顺序会改变坐标和过渡矩阵。

欧几里得空间

实向量内积 $(x,y)=x^Ty$，长度 $\|x\|=\sqrt{(x,x)}$，夹角满足

非零向量组两两正交则线性无关。施密特正交化：

再令 $\gamma_k=\beta_k/\|\beta_k\|$ 得到标准正交组。

正交矩阵满足 $Q^TQ=E$，因此 $Q^{-1}=Q^T$。正交变换保持向量长度、夹角和内积。

易错 正交化减去的是在已经得到的 $\beta_i$ 上的投影，不是原向量 $\alpha_i$。