线性代数 · 第四章

线性方程组

解的判定、结构、通解与矩阵方程

线性方程组的表示与概念

$m$ 个方程、$n$ 个未知量的线性方程组写成 $Ax=b$。$b=0$ 时为齐次方程组，否则为非齐次方程组。

使全部方程成立的列向量称为解向量。拥有相同解集的方程组称为同解方程组。有解称为相容，无解称为矛盾。通解描述全部解，特解是其中一个确定的解。

从几何上看，每个线性方程表示一个超平面，方程组的解是这些超平面的公共点集。

线性方程组的解

非齐次方程组的判定：

齐次方程组总有零解；它有非零解当且仅当 $r(A)<n$。基础解系含 $n-r(A)$ 个线性无关解，通解为这些解的任意线性组合。

非齐次方程组若有解，则

两个非齐次解之差是对应齐次方程组的解；一个非齐次解与一个齐次解之和仍是非齐次解。

矩阵方程可按列拆成多个线性方程组。方阵 $A$ 可逆时，$AX=B$ 唯一解为 $X=A^{-1}B$。

克拉默法则适用于 $n$ 元 $n$ 个方程且 $|A|\ne0$ 的情形：$x_i=|A_i|/|A|$。

易错 “有唯一解”要求秩等于未知量个数，不是等于方程个数。非齐次解集不是向量空间。