高等数学 · 第三章

一元函数积分学

不定积分、定积分、广义积分与应用

不定积分

$F'(x)=f(x)$ 则 $F$ 为 $f$ 的原函数。连续函数必有原函数。

\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C.

性质线性； $\bigl(\int f\,\mathrm{d}x\bigr)'=f$ ； $\int F'(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$ 。

易错不定积分是函数族，漏 $+C$ 在微分方程中会丢通解。

\begin{aligned} \int x^\alpha\,\mathrm{d}x&=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ (\alpha\neq -1),& \int\frac{\mathrm{d}x}{x}&=\ln|x|+C,\\ \int\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x&=\mathrm{e}^x+C,& \int a^x\,\mathrm{d}x&=\frac{a^x}{\ln a}+C,\\ \int\sin x\,\mathrm{d}x&=-\cos x+C,& \int\cos x\,\mathrm{d}x&=\sin x+C,\\ \int\sec^2 x\,\mathrm{d}x&=\tan x+C,& \int\csc^2 x\,\mathrm{d}x&=-\cot x+C,\\ \int\sec x\tan x\,\mathrm{d}x&=\sec x+C,& \int\csc x\cot x\,\mathrm{d}x&=-\csc x+C,\\ \int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}&=\arctan x+C,& \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&=\arcsin x+C. \end{aligned}

补充：

\int\tan x\,\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C,\quad \int\sec x\,\mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C.

\int\frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C,\quad \int\frac{\mathrm{d}x}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C.

第一类换元（凑微分）： $\int f\bigl(g(x)\bigr)g'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(u)\,\mathrm{d}u$ 。

第二类换元：去根号常用 $t=\sqrt{ax+b}$ 、 $x=a\sin t$ 、 $x=a\tan t$ 。

分部积分：

\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u.

口诀选取 $u$ 的优先级：反对幂指三（反三角、对数、幂、指数、三角）。指数与三角循环分部后移项。

易错定积分换元必须改限，且新区间要对应、单调。不要只换元不换限。

有理函数：真分式部分分式。三角有理式：倍角、万能公式。根式：三角代换或欧拉代换。

若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，或只有有限个第一类间断点，则可积。

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.

牛顿－莱布尼茨公式： $f$ 连续， $F'=f$ ，则 $\int_a^b f=F(b)-F(a)$ 。

性质：线性、区间可加、保号、绝对值不等式 $\bigl|\int f\bigr|\le\int|f|$ 。积分中值：存在 $\xi\in[a,b]$ 使 $\int_a^b f=f(\xi)(b-a)$ 。

\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x= \begin{cases} 2\int_0^a f,&f\text{ 偶},\\ 0,&f\text{ 奇}. \end{cases}

区间再现： $\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,\mathrm{d}x$ 。

华里士公式：

I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,\mathrm{d}x= \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\dfrac{\pi}{2},&n\text{ 正偶数},\\[4pt] \dfrac{(n-1)!!}{n!!},&n\text{ 正奇数}. \end{cases}

变形 $\int_0^{\pi}xf(\sin x)\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)\,\mathrm{d}x$ 。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t=f(x),\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,\mathrm{d}t=f\bigl(b(x)\bigr)b'(x)-f\bigl(a(x)\bigr)a'(x).

条件 $f$ 连续。被积函数含 $x$ 时先提出或改写成对参数求导。

易错积分变量与上限不能用同一个字母混写。对参数求导： $\partial/\partial x\int_a^b f(x,t)\,\mathrm{d}t=\int_a^b f_x(x,t)\,\mathrm{d}t$ 。

无穷限： $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f$ 。瑕积分：瑕点 $c$ 处取极限。

审敛（非负）：比较、极限比较。 $p$ -积分：

\int_1^{+\infty}x^{-p}\,\mathrm{d}x\text{ 收敛}\iff p>1,\qquad \int_0^1 x^{-p}\,\mathrm{d}x\text{ 收敛}\iff p<1.

\int_0^1\ln x\,\mathrm{d}x\text{ 收敛},\quad \int_2^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln^p x}\text{ 收敛}\iff p>1.

易错牛顿－莱布尼茨公式不能直接用于反常积分，必须写成极限。条件收敛时不能随便拆绝对值。

平面图形面积：直角 $S=\int_a^b|f-g|\,\mathrm{d}x$ ；极坐标 $S=\frac12\int_\alpha^\beta\rho^2\,\mathrm{d}\theta$ 。

旋转体体积：绕 $x$ 轴 $V=\pi\int_a^b y^2\,\mathrm{d}x$ ；绕 $y$ 轴可用壳层 $V=2\pi\int_a^b x|y|\,\mathrm{d}x$ 。

弧长： $s=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d}x$ 。

侧面积（绕 $x$ 轴）： $S=2\pi\int_a^b |y|\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d}x$ 。

物理量：变力做功 $W=\int F\,\mathrm{d}s$ ；液体压力、质心、转动惯量可用定积分或重积分表示。