高等数学 · 第六章

多元函数积分学

重积分、曲线积分、曲面积分与三大公式

本章先判断积分对象和定向，再选择坐标、参数化或积分公式。

重积分

概念与性质

二重积分和三重积分分别是区域、空间区域上积分和的极限：

\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma, \qquad \iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv.

连续函数在有界闭区域上可积。重积分具有线性、区域可加、保号、估值和中值性质。被积函数为 $1$ 时，积分分别给出区域面积或空间体积。

对称性必须同时检查积分区域与被积函数。例如 $D$ 关于 $y$ 轴对称，且 $f$ 关于 $x$ 为奇函数，则 $\iint_Df\,\mathrm d\sigma=0$ 。

易错只有被积函数为奇函数不够，积分区域也必须具有对应对称性。

二重积分

$X$ 型区域 $D=\{a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}$ ：

\iint_Df\,\mathrm d\sigma =\int_a^b\mathrm dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,\mathrm dy.

换序时重新画区域并确定新上下限。极坐标变换为

x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad \mathrm d\sigma=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta.

易错极坐标必须乘雅可比因子 $r$ 。角度范围由射线扫过区域的范围决定。

三重积分

柱面坐标：

x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z, \qquad \mathrm dv=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.

球面坐标：

\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\ z&=\rho\cos\varphi, \end{aligned} \qquad \mathrm dv=\rho^2\sin\varphi\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta.

其中 $\varphi$ 是与正 $z$ 轴的夹角。球体、圆锥常用球面坐标，柱体和旋转体常用柱面坐标。

重积分的应用

质量 $m=\iiint_\Omega\mu\,\mathrm dv$ ；质心坐标满足

\bar x=\frac{1}{m}\iiint_\Omega x\mu\,\mathrm dv,

其余坐标类似。对 $z$ 轴的转动惯量为 $I_z=\iiint_\Omega(x^2+y^2)\mu\,\mathrm dv$ 。

曲线积分

第一类曲线积分

对弧长的曲线积分与方向无关。若 $\mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ ， $t\in[\alpha,\beta]$ ，则

\int_L f\,\mathrm ds =\int_\alpha^\beta f\bigl(\mathbf r(t)\bigr) \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,\mathrm dt.

它可表示线密度为 $f$ 的曲线质量。平面曲线 $y=y(x)$ 上有 $\mathrm ds=\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm dx$ 。

第二类曲线积分

对坐标的曲线积分与方向有关，反向时变号：

\int_LP\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy+R\,\mathrm dz =\int_\alpha^\beta\mathbf A(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,\mathrm dt.

两类曲线积分可通过有向切线的方向余弦联系：

\int_LP\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy+R\,\mathrm dz =\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm ds.

易错第二类积分的参数方向必须与曲线定向一致，且换元时没有速度绝对值。

格林公式

平面有界闭区域 $D$ 的边界 $L$ 取正向， $P,Q$ 有一阶连续偏导数时，

\oint_LP\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy =\iint_D(Q_x-P_y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.

正向是沿边界行进时区域位于左侧。复连通区域的内边界方向与外边界相反。非闭曲线需先补线；区域内存在奇点时不能直接套用。

面积公式：

S=\oint_L-y\,\mathrm dx =\oint_Lx\,\mathrm dy =\frac12\oint_L(-y\,\mathrm dx+x\,\mathrm dy).

平面曲线积分与路径无关

在单连通区域内，若 $P_y=Q_x$ ，则积分 $\int_LP\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy$ 与路径无关，并存在势函数 $u$ 使 $\mathrm du=P\,\mathrm dx+Q\,\mathrm dy$ 。这也等价于沿任意闭曲线的积分为 $0$ 。

易错偏导相等还要配合单连通区域。区域有孔时，局部无旋不能推出所有闭路积分为零。

环流量与旋度

向量场 $\mathbf A=(P,Q,R)$ 的旋度为

\operatorname{rot}\mathbf A=\nabla\times\mathbf A =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ P&Q&R \end{vmatrix}.

闭曲线上的第二类曲线积分表示环流量；无旋场满足 $\nabla\times\mathbf A=\mathbf0$ 。

曲面积分

第一类曲面积分

对面积的曲面积分与侧无关：

\iint_\Sigma f\,\mathrm dS.

若曲面为 $z=z(x,y)$ ，则

\mathrm dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy.

参数曲面 $\mathbf r(u,v)$ 上有 $\mathrm dS=|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,\mathrm du\,\mathrm dv$ 。

第二类曲面积分

对坐标的曲面积分与曲面指定侧有关：

\iint_\Sigma P\,\mathrm dy\,\mathrm dz +Q\,\mathrm dz\,\mathrm dx +R\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\iint_\Sigma\mathbf A\cdot\mathbf n^0\,\mathrm dS.

投影到坐标面时，符号由指定法向与坐标轴的夹角决定。若投影不是单值区域，必须分片。

高斯公式

空间有界闭区域 $\Omega$ 的边界 $\Sigma$ 取外侧，向量场有一阶连续偏导数时，

\oiint_\Sigma\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf S =\iiint_\Omega\nabla\cdot\mathbf A\,\mathrm dv, \qquad \nabla\cdot\mathbf A=P_x+Q_y+R_z.

非封闭曲面可补面后使用高斯公式，再减去补面上的积分。被积向量场在区域内有奇点时，应挖去奇点邻域。

沿任意封闭曲面的通量为零，当且仅当区域内 $\nabla\cdot\mathbf A=0$ ；这一结论要求向量场在区域内光滑且没有奇点。

斯托克斯公式

定向曲面 $\Sigma$ 的边界 $L$ 与法向满足右手规则时，

\oint_L\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf r =\iint_\Sigma(\nabla\times\mathbf A)\cdot\mathrm d\mathbf S.

可把曲面换成具有同一边界、定向一致的更简单曲面。

空间路径无关、通量与散度

在单连通空间区域内， $\nabla\times\mathbf A=\mathbf0$ 等价于存在势函数 $u$ 使 $\mathbf A=\nabla u$ ，也等价于空间曲线积分与路径无关。

第二类曲面积分表示通量；散度 $\nabla\cdot\mathbf A$ 描述单位体积的净流出强度。恒等式

\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)=0, \qquad \nabla\times(\nabla u)=\mathbf0.

易错高斯公式处理封闭曲面，斯托克斯公式处理有边界的定向曲面。两者的定向约定不能混用。