第七章

二重积分与三重积分

直角、极坐标、柱面与球面坐标

二重积分概念

\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=\lim_{\lambda\to 0}\sum f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i.

几何：曲顶柱体体积（ $f\ge 0$ ）。物理：面密度为 $f$ 的质量。

$f$ 在有界闭区域 $D$ 连续则可积。线性、区域可加、保号、中值定理成立。

估值： $m\cdot S_D\le\iint_D f\le M\cdot S_D$ 。

对称性

若 $D$ 关于 $y$ 轴对称， $f(x,y)$ 对 $x$ 为奇函数，则积分为 $0$ ；为偶函数，则等于一半区域上积分的两倍。轮换对称：若 $D$ 与 $f$ 对 $x,y$ 对称，则 $\iint_D x\,\mathrm{d}\sigma=\iint_D y\,\mathrm{d}\sigma$ 。

易错先看区域对称，再看函数奇偶。区域不对称时不能用奇偶性直接归零。

直角坐标计算

$X$ 型区域（先对 $y$ 后对 $x$ ）： $D=\{a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}$ ，

\iint_D f\,\mathrm{d}\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,\mathrm{d}y.

$Y$ 型区域（先对 $x$ 后对 $y$ ）类似。先积分的变量，上下限可以是另一变量的函数；后积分的变量必须是常数限。

用途选择先积方向，使截面是单区间。换序常用于变限积分与计算简化。

极坐标

$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ ， $\mathrm{d}\sigma=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 。

\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma=\iint_{D'}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

条件适用于圆形、扇形、环形，或 $f$ 含 $x^2+y^2$ 。

易错漏乘 $r$ 是最常见错误。 $\theta$ 的范围由射线扫过 $D$ 的角度确定。

一般换元 $x=x(u,v),\ y=y(u,v)$ ：

\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v.

三重积分

数一

\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm{d}v.

直角坐标：先一后二或先二后一。柱面坐标：

x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z,\quad \mathrm{d}v=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.

球面坐标：

\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\ z&=\rho\cos\varphi, \end{aligned} \qquad \mathrm{d}v=\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.

$\rho\ge 0$ ， $\varphi\in[0,\pi]$ 为与正 $z$ 轴夹角， $\theta\in[0,2\pi]$ 。

用途球体、锥体用球面；柱体、旋转体用柱面。

易错球面坐标漏 $\rho^2\sin\varphi$ 。 $\varphi$ 不是从 $xy$ 平面起算。柱面坐标仍要乘 $r$ 。

几何与物理应用

体积 $V=\iiint_\Omega\mathrm{d}v=\iint_{D_{xy}}z\,\mathrm{d}\sigma$ （上顶下底）。

曲面面积见曲面积分。质量 $m=\iiint_\Omega\mu\,\mathrm{d}v$ 。

形心： $\bar x=\dfrac{1}{V}\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}v$ 等。质心把 $\mathrm{d}v$ 换成 $\mu\,\mathrm{d}v$ 。

数一转动惯量 $I_z=\iiint_\Omega(x^2+y^2)\mu\,\mathrm{d}v$ ；引力按平方反比积分。