第九章

格林、高斯与斯托克斯公式 数一

三大积分公式、路径无关、散度与旋度

三大公式把区域上的积分与边界积分联系起来，是数学一的核心工具。

格林公式

平面有界闭区域 $D$，边界 $L$ 取正方向（区域在左侧），$P,Q$ 有一阶连续偏导，则

条件 $D$ 由分段光滑闭曲线围成。$P,Q$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数。复连通区域时内边界方向相反。

变形 面积 $\oint_L -y\mathrm{d}x=\oint_L x\mathrm{d}y=\frac12\oint_L -y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y$。

易错 不是闭曲线不能直接用，要补线。奇点必须挖去再取极限。正向不要凭“逆时针”一概而论，看区域在哪一侧。

路径无关与原函数

平面上 $\int_L P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 与路径无关（单连通区域内）当且仅当 $Q_x=P_y$，当且仅当存在 $u$ 使 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，当且仅当沿任意闭曲线积分为 $0$。

易错 单连通不能省。$\dfrac{-y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\dfrac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y$ 在去原点平面上 $Q_x=P_y$，但绕原点闭曲线积分为 $2\pi$。

高斯公式

空间有界闭区域 $\Omega$，边界 $\Sigma$ 取外侧，$P,Q,R$ 具有一阶连续偏导数，则

即 $\oiint_\Sigma\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\iiint_\Omega\nabla\cdot\mathbf{A}\,\mathrm{d}v$。

变形 体积 $\iiint_\Omega\mathrm{d}v=\frac13\oiint_\Sigma x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

用途 封闭曲面的流量；非封闭时补面再减补面。

易错 外侧约定：法向指向体外。补面后定向要配套。被积向量场在内部有奇点时先挖球。

斯托克斯公式

定向曲面 $\Sigma$，边界 $L$ 与曲面满足右手规则，$P,Q,R$ 具有一阶连续偏导数，则

即 $\oint_L\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\iint_\Sigma(\nabla\times\mathbf{A})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$。

用途 空间闭曲线积分化为曲面积分，曲面可改取张在同一边界上的更简单曲面。

易错 右手：四指沿 $L$ 正向，拇指指向法向。换曲面时边界定向不变。

散度与旋度

恒等式：$\mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\mathbf{A})=0$，$\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,u)=\mathbf{0}$。

无源场：$\mathrm{div}\,\mathbf{A}=0$。无旋场：$\mathrm{rot}\,\mathbf{A}=\mathbf{0}$，在单连通区域上等价于保守场。