第十章

无穷级数

常数项级数、幂级数、泰勒展开与傅里叶级数

常数项级数基础

\sum_{n=1}^{\infty}u_n\text{ 收敛}\iff S_n=\sum_{k=1}^{n}u_k\text{ 有极限}.

必要条件： $u_n\to 0$ 。几何级数 $\sum q^n$ 当 $|q|<1$ 收敛于 $\frac{1}{1-q}$ （从 $n=0$ ）。 $p$ 级数 $\sum n^{-p}$ 当 $p>1$ 收敛。

性质：去掉有限项不影响敛散；收敛级数可逐项加、乘常数。条件收敛级数不能任意重排。

比较审敛法： $0\le u_n\le v_n$ ，若 $\sum v$ 收敛则 $\sum u$ 收敛；若 $\sum u$ 发散则 $\sum v$ 发散。

极限审敛法： $\lim\dfrac{u_n}{v_n}=l\in(0,\infty)$ 则同敛散。

比值审敛法（达朗贝尔判别法）： $l=\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ， $l<1$ 收敛， $l>1$ 发散， $l=1$ 失效。

根值审敛法（柯西判别法）： $l=\lim\sqrt[n]{u_n}$ ，判据同上。

积分审敛法： $f$ 在 $[1,+\infty)$ 上为正、连续、递减，则 $\sum f(n)$ 与 $\int_1^{+\infty} f$ 同敛散。

易错比值、根值等于 $1$ 不能下结论，改用比较或积分审敛法。 $u_n\to 0$ 不能推出收敛。

莱布尼茨判别法：若 $u_n>0$ 单调趋于 $0$ ，则 $\sum (-1)^{n-1}u_n$ 收敛，余项 $|r_n|\le u_{n+1}$ 。

绝对收敛 $\sum|u_n|$ 收敛 $\Rightarrow$ 原级数收敛。非绝对但收敛称条件收敛。

绝对收敛可任意重排、乘积。条件收敛的重排可改变和。

\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n.

收敛半径：

\frac{1}{R}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \quad\text{（极限存在时）}.

$R=0$ 仅在 $x_0$ 收敛； $R=\infty$ 处处收敛。收敛区间是开区间 $(x_0-R,x_0+R)$ ，端点必须单独代入常数项级数判断，得到收敛域。

在收敛区间内可逐项求导、逐项积分，半径不变；端点敛散可能改变。和函数在收敛域上连续。

\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,&&|x|<1,\\ \mathrm{e}^x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},&&x\in\mathbb{R},\\ \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},&&x\in\mathbb{R},\\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},&&x\in\mathbb{R},\\ \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},&&x\in(-1,1],\\ (1+x)^\alpha&=\sum_{n=0}^{\infty}C_\alpha^n x^n,&&|x|<1,\\ \arctan x&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},&&|x|\le 1. \end{aligned}

用途间接展开、求幂级数和函数、展开后积分或求导。

易错 $\ln(1+x)$ 在 $x=-1$ 发散，在 $x=1$ 收敛。不要把收敛区间与收敛域混为一谈。

泰勒级数收敛于 $f$ 的充要条件是余项 $R_n(x)\to 0$ 。

数一

周期 $2l$ 的函数，系数

a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x,\quad b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x.

f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right).

$l=\pi$ 时化为通常的 $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\cos nx\,\mathrm{d}x$ 。

狄利克雷收敛定理：一个周期内连续或仅有有限个第一类间断点，且极值点有限，则在连续点收敛于 $f(x)$ ，在间断点收敛于 $\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$ ，在 $x=\pm l$ 收敛于 $\dfrac{f(-l^+)+f(l^-)}{2}$ 。

偶延拓得余弦级数（只含 $a_n$ ），奇延拓得正弦级数（只含 $b_n$ ）。 $[0,l]$ 上的函数可任选一种延拓。

易错 $a_0$ 的公式与 $a_n$ 相同，但级数里写 $a_0/2$ 。周期延拓后在端点用左右极限平均，不一定等于 $f(\pm l)$ 。