高等数学 · 第八章

常微分方程

基本概念、一阶方程、高阶线性方程与应用

微分方程的基本概念

含未知函数及其导数的方程称为微分方程；出现的最高阶导数的阶数是方程的阶。使方程成立的函数称为解。通解通常含与方程阶数相同个数的独立任意常数，初始条件用于确定特解。解曲线称为积分曲线。

易错 “含 $n$ 个常数”只是通解的形式特征，还要保证这些常数相互独立。

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y) \implies \int\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\,\mathrm{d}x.

条件 $g(y)\neq 0$ 的区间。使 $g(y)=0$ 的常数解要单独检验。

易错分离时不要漏掉使分母为零的平衡解。

形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\bigl(\frac{y}{x}\bigr)$ 。令 $u=y/x$ ，则 $y=ux$ ， $y'=u+xu'$ ，化为可分离。

变形 $y'=f\bigl(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\bigr)$ 可先平移，化为齐次。

y'+p(x)y=q(x).

通解：

y=\mathrm{e}^{-\int p\,\mathrm{d}x}\left(\int q\,\mathrm{e}^{\int p\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+C\right).

齐次式 $q=0$ 时， $y=C\mathrm{e}^{-\int p\,\mathrm{d}x}$ 。

用途积分因子法。标准形必须是 $y'+p y=q$ ，先除以 $y'$ 的系数。

易错写成 $x'=P(y)x+Q(y)$ 时，应把 $y$ 当自变量。

y'+p(x)y=q(x)y^n\qquad (n\neq 0,1).

令 $z=y^{1-n}$ ，化为线性方程。

$M(x,y)\,\mathrm{d}x+N(x,y)\,\mathrm{d}y=0$ 。若 $M_y=N_x$ ，则存在 $u(x,y)=C$ 使 $\mathrm{d}u=M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y$ 。

u=\int M\,\mathrm{d}x+\int\left(N-\frac{\partial}{\partial y}\int M\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y.

若 $M_y\neq N_x$ ，可尝试只依赖于 $x$ 或 $y$ 的积分因子： $\frac{M_y-N_x}{N}$ 只含 $x$ ，则 $\mu=\mathrm{e}^{\int\frac{M_y-N_x}{N}\mathrm{d}x}$ 。

不显含 $y$ ： $F(x,y',y'')=0$ ，令 $p=y'$ ， $y''=p'$ 。

不显含 $x$ ： $F(y,y',y'')=0$ ，令 $p=y'$ ， $y''=p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$ 。

易错第二种换元后自变量是 $y$ ，积分回来不要漏 $y$ 与 $x$ 的关系。

y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_0(x)y=f(x).

齐次通解是 $n$ 个线性无关特解的线性组合。非齐次通解 $=$ 齐次通解 $+$ 一个特解。

叠加：右端 $f_1+f_2$ 时特解可相加。

y''+py'+qy=0.

特征方程 $r^2+pr+q=0$ ：

根	通解
两不等实根 $r_1,r_2$	$C_1\mathrm{e}^{r_1 x}+C_2\mathrm{e}^{r_2 x}$
重根 $r$	$(C_1+C_2 x)\mathrm{e}^{rx}$
共轭复根 $\alpha+\mathrm{i}\beta$ 、 $\alpha-\mathrm{i}\beta$	$\mathrm{e}^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

y''+py'+qy=f(x).

待定系数（ $f$ 为多项式、指数、正余弦或其积）：

$f=P_m(x)\mathrm{e}^{\lambda x}$ ：若 $\lambda$ 不是特征根，特解 $P_m(x)\mathrm{e}^{\lambda x}$ ；是单根，乘 $x$ ；是重根，乘 $x^2$ 。
$f=\mathrm{e}^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)$ ： $\alpha+\mathrm{i}\beta$ 不是特征根则同型；是特征根则再乘 $x$ 。

易错特征根重合必须乘 $x$ 的相应次幂，否则求不出系数。 $\sin$ 与 $\cos$ 要同时保留，即使右端只有一项。

建立模型时先确定自变量、未知函数和变化率关系，再代入初始条件。常见模型包括指数增长与衰减、冷却、混合和振动。求出通解后必须检查单位、初值和解的实际定义域。