高等数学 · 第一章

函数、极限和连续

函数结构、极限计算、无穷小量与连续性

极限是微积分的语言。先把定义、运算法则和等价量记准，再处理连续性。

函数

集合由确定的元素组成。开区间 $(a,b)$ 是点集； $x_0$ 的 $\delta$ 邻域为 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ ，去心邻域再去掉 $x_0$ 。讨论极限时要区分邻域和去心邻域。

基本初等函数

六类基本初等函数：幂函数 $x^\mu$ 、指数函数 $a^x$ 、对数函数 $\log_a x$ 、三角函数、反三角函数、常数函数。它们经过有限次四则运算与复合得到初等函数。

幂函数 y=x² — 先标定义域与过定点：e⁰ = 1，ln 1 = 0。图像由 Desmos 生成。

指数函数 y=e^x — 先标定义域与过定点：e⁰ = 1，ln 1 = 0。图像由 Desmos 生成。

绝对值函数 y=|x| — 绝对值函数用于分段讨论，反比例函数在两坐标轴处体现定义域与渐近线，平方根函数只在 x≥0 上有定义。图像由 Desmos 生成。

反比例函数 y=1/x — 绝对值函数用于分段讨论，反比例函数在两坐标轴处体现定义域与渐近线，平方根函数只在 x≥0 上有定义。图像由 Desmos 生成。

常用值： $a^0=1$ ， $\ln 1=0$ ， $\ln\mathrm{e}=1$ ， $\log_a a=1$ 。指数与对数互为反函数。

函数的几个性质

奇偶：若 $f(-x)=-f(x)$ 为奇， $f(-x)=f(x)$ 为偶。奇函数在对称区间上若可积则积分为 $0$ 。

周期：存在 $T\neq 0$ 使 $f(x+T)=f(x)$ 。 $\sin x,\cos x$ 的最小正周期为 $2\pi$ ， $\tan x$ 为 $\pi$ 。

有界、单调、凹凸见后文微分学。复合时先写定义域，再谈性质。

函数的和、差、积、商按同一自变量运算，商要求分母不为 $0$ 。复合函数 $f(g(x))$ 还要求 $g(x)$ 落在 $f$ 的定义域内。反函数存在的常用充分条件是函数在区间上严格单调。

易错分段函数仍是一个函数。判断连续、可导或极限时，要在分界点分别检查左右两侧。

极限

数列极限

\lim_{n\to\infty}a_n=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ n>N\Rightarrow |a_n-A|<\varepsilon.

性质唯一性、有界性、保号性。收敛数列的任意子数列（子列）都收敛到同一极限。单调有界必收敛。

用途判断数列收敛、夹逼、化为函数极限。

易错有界不一定收敛。子列收敛不能推出原数列收敛，除非验证所有子列。

海涅定理（归结原则）： $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ 当且仅当对任意 $x_n\to x_0,\ x_n\neq x_0$ ，都有 $f(x_n)\to A$ 。

函数极限

\lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.

左右极限： $\lim_{x\to x_0^-}f(x)$ 与 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)$ 。极限存在当且仅当左右极限存在且相等。

无穷极限与 $x\to\infty$ 的定义把邻域改成 $|f(x)|>M$ 或 $|x|>X$ 。

运算法则 四则运算要求各极限存在；商的分母极限非零。复合：内层极限存在且外层在该点连续（或外层极限存在且内层不取该点）。

易错极限存在才能做四则。无穷大不是数， $\infty-\infty$ 、 $\infty/\infty$ 都是未定式。

极限若存在则唯一；有限极限具有局部有界性和保号性。函数极限的几何意义是：自变量充分接近目标点时，函数值被限制在极限值任意小的邻域内。

两个重要极限

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}.

变形 $\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$ （ $u$ 为无穷小）。 $\lim_{u\to 0}(1+u)^{1/u}=\mathrm{e}$ 。 $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$ ， $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$ 。

用途三角极限、指数对数极限、连续复利型极限。

易错 $\frac{\sin x}{x}\to 1$ 的条件是 $x\to 0$ ，不是 $x\to\infty$ 。第二个极限底数必须趋于 $1$ 。

无穷小与无穷大

$x\to x_0$ 时 $f(x)\to 0$ 称无穷小； $|f(x)|\to+\infty$ 称无穷大。非零无穷小的倒数是无穷大。

比较（ $x\to x_0$ ， $\beta\neq 0$ ）：

关系	含义
$f=o(\beta)$	$f/\beta\to 0$ ，高阶无穷小
$f=O(\beta)$	$f/\beta$ 有界，同阶或更高阶
$f\sim\beta$	$f/\beta\to 1$ ，等价无穷小

无穷小的和：取最低阶；积：阶数相加。有界量乘无穷小仍是无穷小。

常用等价无穷小

当 $x\to 0$ 时：

\begin{aligned} \sin x &\sim x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x,\\ 1-\cos x &\sim \tfrac12 x^2,\\ \mathrm{e}^x-1 &\sim x \sim \ln(1+x),\\ (1+x)^\alpha-1 &\sim \alpha x,\\ a^x-1 &\sim x\ln a. \end{aligned}

条件只能在乘除、求商的极限中替换等价量。加减时必须同阶，否则用泰勒。

用途绝大多数 $0/0$ 型极限的首选工具。

易错 $\sin x+\tan x$ 不能写成 $x+x$ 。 $1-\cos x$ 与 $x$ 不同阶。 $\ln(1+2x)\sim 2x$ 而不是 $x$ 。

更高阶（ $x\to 0$ ）： $\tan x-x\sim\frac13 x^3$ ， $\arcsin x-x\sim\frac16 x^3$ ， $x-\sin x\sim\frac16 x^3$ 。

夹逼准则与单调有界准则

夹逼准则：若 $g\le f\le h$ 且 $\lim g=\lim h=A$ ，则 $\lim f=A$ 。

单调有界准则用于数列或变上限积分定义的函数。

洛必达法则

若 $\lim\frac{f}{g}$ 为 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ ， $f,g$ 在去心邻域可导， $g'\neq 0$ ，且 $\lim\frac{f'}{g'}$ 存在（或为 $\infty$ ），则

\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}.

变形可连续使用。 $0\cdot\infty$ 、 $\infty-\infty$ 、 $1^\infty$ 、 $0^0$ 、 $\infty^0$ 先化为商或指数取对数。

用途导数比好求的未定式；与等价无穷小、泰勒联用。

易错不是未定式不能用。右端极限不存在时，不能断定左端不存在。每次使用前确认仍是未定式。

泰勒公式（极限计算）

佩亚诺余项：

f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o\bigl((x-x_0)^n\bigr).

常用麦克劳林展开见无穷级数。求极限时展开到能够消掉未定式的最低阶。

易错 $o(x^n)+o(x^n)=o(x^n)$ ，但 $o(x^n)-o(x^n)$ 不一定是 $o(x^n)$ 。同阶相减改用更高阶或统一主部。

连续

连续性

$f$ 在 $x_0$ 连续 $\iff\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 。初等函数在定义区间内连续。

间断点（ $f$ 在去心邻域有定义）：

类型	判别
可去	左右极限存在且相等，但不等于 $f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义
跳跃	左右极限存在但不相等
第二类	至少一侧极限不存在（含无穷）

可去与跳跃统称第一类间断点。

闭区间上连续函数

$f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续则：有界性定理；最值定理；介值定理——对介于 $f(a),f(b)$ 之间的任意 $\mu$ ，存在 $\xi\in[a,b]$ 使 $f(\xi)=\mu$ ；零点定理—— $f(a)f(b)<0$ 则存在根。

条件必须闭区间且连续。开区间或仅有极限存在不够。

易错介值定理不保证根唯一。最值定理给存在性，不给求法。