第五章

向量代数与空间解析几何 数一

向量运算、平面直线、二次曲面

本章为数学一重点，数学二、数学三基本不考。

向量线性运算

$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$。加法、数乘按分量。模 $|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$。单位向量 $\mathbf{a}^0=\mathbf{a}/|\mathbf{a}|$。

方向余弦：

数量积

性质 交换、对加法分配。$\mathbf{a}\perp\mathbf{b}\iff\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$。$\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 上的投影为 $\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$。

易错 数量积是标量。$(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})$ 一般不等。

向量积

方向用右手系。$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ 等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形面积。

性质 反交换 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-\mathbf{b}\times\mathbf{a}$。$\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}\iff\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$。

易错 行列式展开时 $j$ 分量带负号。不要把向量积写成交换的。

混合积

绝对值等于平行六面体体积。共面 $\iff$ 混合积为 $0$。偶置换不变号，奇置换变号。

平面方程

点法式：$\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0$，即 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$。

一般式：$Ax+By+Cz+D=0$，法向量 $\mathbf{n}=(A,B,C)$。

截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$。

三点 $P_1,P_2,P_3$ 不共线：$\bigl(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1\bigr)\cdot\bigl((\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)\times(\mathbf{r}_3-\mathbf{r}_1)\bigr)=0$。

直线方程

对称式（标准式）：$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$，方向向量 $\mathbf{s}=(l,m,n)$。

参数式：$x=x_0+lt,\ y=y_0+mt,\ z=z_0+nt$。

两点式：$\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}$。

一般式：两平面交线 $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,\end{cases}$ 方向向量 $\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2$。

位置关系

平面法向量 $\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2$，直线方向 $\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2$。

两直线共面：$\bigl(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\bigr)\cdot(\mathbf{s}_1\times\mathbf{s}_2)=0$。

点到平面距离：

点到直线距离：$d=\dfrac{|(\mathbf{r}_0-\mathbf{r}_1)\times\mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}$。

异面直线距离：$d=\dfrac{|(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)\cdot(\mathbf{s}_1\times\mathbf{s}_2)|}{|\mathbf{s}_1\times\mathbf{s}_2|}$。

常见二次曲面

x²/4 + y² = 1

x²/4 − y² = 1

y = x²/4

柱面：方程缺一个变量，如 $x^2+y^2=R^2$ 为圆柱面。旋转面：把平面曲线绕轴旋转。

切线法平面与切平面法线

空间曲线 $\mathbf{r}(t)$：切向量 $\mathbf{r}'(t)$。切线与法平面分别为

曲面 $F(x,y,z)=0$：法向量 $\nabla F=(F_x,F_y,F_z)$。切平面