第〇章

预备公式

代数恒等式、三角、不等式与常用初等变形

查阅极限、求导和积分时，多数卡点出在初等变形。本章只收考试中反复用到的式子。

乘法公式与因式分解

\begin{aligned} (a\pm b)^2 &= a^2 \pm 2ab + b^2,\\ (a\pm b)^3 &= a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3,\\ a^2-b^2 &= (a-b)(a+b),\\ a^3\pm b^3 &= (a\pm b)(a^2 \mp ab + b^2). \end{aligned}

变形 $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}b^k$ 。 $n$ 为奇数时才有 $a^n+b^n=(a+b)(\cdots)$ 。

用途极限中约分、积分中拆项、特征值计算中因式分解。

易错立方和差中间项符号最容易写反：和是减，差是加。

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.

\begin{aligned} a^m a^n &= a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\\ a^{\log_a x}&=x\ (x>0),\quad \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\\ \log_a\frac{x}{y}&=\log_a x-\log_a y,\quad \log_a x^p = p\log_a x,\\ \log_a b &= \frac{\ln b}{\ln a}=\frac{\log_c b}{\log_c a}. \end{aligned}

条件 $a>0,a\neq 1$ ；对数真数大于 $0$ 。

变形 $u^v=\mathrm{e}^{v\ln u}\ (u>0)$ ，指数型极限常先取对数。

易错 $\ln(x+y)\neq \ln x+\ln y$ 。换底公式分子分母不要写反。

\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.

\sum_{k=0}^{n} q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\ (q\neq 1),\quad \sum_{k=1}^{n} k q^{k-1}=\frac{1-(n+1)q^n+nq^{n+1}}{(1-q)^2}.

用途定积分定义、常数项级数、数学期望的离散求和。

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k,\qquad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

变形 $C_n^k=C_n^{n-k}$ ， $C_n^k+C_n^{k-1}=C_{n+1}^k$ 。广义二项式： $(1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^{\infty}C_\alpha^k x^k,\ |x|<1$ 。

易错 $C_\alpha^k=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$ ，当 $\alpha$ 不是正整数时没有 $C_\alpha^k=C_\alpha^{\alpha-k}$ 。

\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ge\frac{2ab}{a+b}\qquad (a,b>0).

算术—几何平均： $\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}$ （正数，等号当且仅当全相等）。

柯西不等式：

\left(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\right)^2\le\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right).

积分形式： $\bigl(\int_a^b f g\,\mathrm{d}x\bigr)^2\le\int_a^b f^2\,\mathrm{d}x\int_a^b g^2\,\mathrm{d}x$ 。

伯努利： $(1+x)^\alpha\ge 1+\alpha x$ ，当 $\alpha\ge 1$ 且 $x\ge -1$ 。

用途估计积分、证明不等式、夹逼。

易错均值不等式要求各项为正。柯西等号条件是两向量线性相关。

\sin^2 x+\cos^2 x=1,\quad 1+\tan^2 x=\sec^2 x,\quad 1+\cot^2 x=\csc^2 x.

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad \sin(x+\tfrac{\pi}{2})=\cos x,\quad \cos(x+\tfrac{\pi}{2})=-\sin x.

\begin{aligned} \sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta,\\ \tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}. \end{aligned}

\sin 2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x.

\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\quad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\quad \sin^3 x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}.

用途积分降幂、极限中的三角变形、微分方程中的三角特解。

易错 $\cos(\alpha-\beta)$ 中间是加号。 $\tan(\alpha+\beta)$ 分母是 $1-\tan\alpha\tan\beta$ 。

\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta&=\tfrac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr],\\ \cos\alpha\cos\beta&=\tfrac12\bigl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr],\\ \sin\alpha\sin\beta&=\tfrac12\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr]. \end{aligned}

\begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\tfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\tfrac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\tfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\tfrac{\alpha-\beta}{2},\\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\tfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\tfrac{\alpha-\beta}{2}. \end{aligned}

用途傅里叶系数、积分化简、证明三角恒等式。

令 $t=\tan\frac{x}{2}$ ，则

\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \mathrm{d}x=\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2}.

条件 $x\neq (2k+1)\pi$ 。

用途有理化三角有理式积分，属于第二手段，能用倍角或换元时不必优先。

\begin{aligned} \arcsin x+\arccos x&=\frac{\pi}{2},\quad x\in[-1,1],\\ \arctan x+\operatorname{arccot} x&=\frac{\pi}{2},\quad x\in\mathbb{R},\\ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}&=\begin{cases}\pi/2,&x>0,\\ -\pi/2,&x<0.\end{cases} \end{aligned}

主值： $\arcsin,\arctan$ 为奇函数； $\arcsin x\in[-\pi/2,\pi/2]$ ， $\arccos x\in[0,\pi]$ ， $\arctan x\in(-\pi/2,\pi/2)$ 。

易错 $\arctan x+\arctan(1/x)$ 在负半轴不是 $\pi/2$ 。复合时先看值域再化简。

A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!},\quad C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\quad \sum_{k=0}^{n}C_n^k=2^n.

用途古典概型、二项分布、展开系数。