高等数学 · 第五章

多元函数微分学

偏导数、全微分、向量值函数与极值

平面点集可分为内点、边界点和聚点。二元函数 $z=f(x,y)$ 的图形通常是空间曲面。 $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$ 要求沿任意路径都趋于 $A$ 。连续定义与一元类似。初等函数在定义开区域内连续；有界闭区域上的连续函数有界并能取得最大值和最小值。

易错两条路径极限不同则极限不存在。沿所有直线极限相同，仍可能沿抛物线不同。

f_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.

几何上， $f_x$ 是曲面与 $y=y_0$ 的交线在该点的切线斜率。

高阶偏导：若 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 在邻域连续，则二者相等。

易错偏导数存在不必连续，也不必可微。求 $f_x$ 时把 $y$ 当常数。

\mathrm{d}z=f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y.

可微的充分条件：偏导数存在且在该点连续。必要：偏导数存在。一元中可导与可微等价，多元不等价。

近似： $f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f+f_x\Delta x+f_y\Delta y$ 。全微分形式具有不变性，复合变量下仍写成各偏导数与对应微分的线性组合。

$z=f\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)$ ：

z_x=f_u u_x+f_v v_x,\quad z_y=f_u u_y+f_v v_y.

$F(x,y)=0$ 在点附近满足 $F_y\neq0$ 时，可由隐函数存在定理局部确定 $y(x)$ ，且 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{F_x}{F_y}$ 。

$F(x,y,z)=0$ 确定 $z(x,y)$ ：

z_x=-\frac{F_x}{F_z},\quad z_y=-\frac{F_y}{F_z}\qquad (F_z\neq 0).

方程组 $F(x,y,u,v)=0,\ G(x,y,u,v)=0$ 确定 $u(x,y),v(x,y)$ 时，用雅可比行列式：

\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =-\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\Big/\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}.

（对每个自变量分别用全微分或克莱姆法则更稳妥。）

向量值函数 $\mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 的极限、连续、导数和微分都按分量定义：

\mathbf r'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr),\qquad \mathrm d\mathbf r=\mathbf r'(t)\,\mathrm dt.

易错向量值函数的导数仍是向量；其模的导数一般不等于导数的模。

单位向量 $\mathbf{l}=(\cos\alpha,\cos\beta)$ ，

\frac{\partial f}{\partial\mathbf{l}} =\lim_{t\to 0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}.

若 $f$ 可微，则

\frac{\partial f}{\partial\mathbf{l}}=\nabla f\cdot\mathbf{l} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta.

梯度 $\nabla f=(f_x,f_y)$ 指向函数增长最快的方向，最大方向导数等于 $|\nabla f|$ 。等值线（面）与梯度垂直。

易错方向导数定义常用单侧 $t\to 0^+$ 。公式 $\nabla f\cdot\mathbf{l}$ 要求可微，不只是偏导数存在。 $\mathbf{l}$ 必须是单位向量。

多元函数微分学的应用

空间曲线 $\mathbf r(t)$ 的切向量为 $\mathbf r'(t)$ ，法平面以它为法向量。曲面 $F(x,y,z)=0$ 的法向量为 $\nabla F$ ，切平面与法线均由该向量确定。

无条件极值：驻点 $f_x=f_y=0$ 。二元充分条件令 $A=f_{xx},\ B=f_{xy},\ C=f_{yy}$ ， $\Delta=AC-B^2$ ：

闭区域最值还要比较边界。

约束 $g(x,y)=0$ ，令 $L=f+\lambda g$ ，解

L_x=0,\ L_y=0,\ g=0.

多个约束则多个乘数。得到的是候选点，需结合问题背景判定最大最小。

用途面积一定周长最大、距离最短、二次型约束极值。

易错不要忘记把约束方程写入方程组。驻点未必在约束曲面上除非联立 $g=0$ 。