第十一章

线性代数

行列式、矩阵、方程组、特征值与二次型

行列式

$n$ 阶行列式按定义是所有排列的代数和。二、三阶：

\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=ad-bc,\quad \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}

用对角线法则或按行展开。

性质：转置不变；互换两行变号；有两行成比例则为 $0$ ；一行倍数加到另一行值不变； $|kA|=k^n|A|$ ； $|AB|=|A||B|$ 。

展开： $|A|=\sum_j a_{ij}A_{ij}$ ， $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 。

范德蒙德：

\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ \vdots&&&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i).

易错 $|kA|=k^n|A|$ 不是 $k|A|$ 。行乘常数 $k$ 才提出一个 $k$ 。

加法、数乘、乘法。 $AB$ 要求列数等于行数。乘法不交换。 $(AB)^T=B^TA^T$ ， $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ （可逆时）。

单位阵 $E$ ，零阵 $O$ 。 $A$ 可逆 $\iff |A|\neq 0\iff r(A)=n\iff$ 行（列）向量组线性无关 $\iff$ $Ax=0$ 只有零解 $\iff$ $Ax=b$ 对任意 $b$ 有唯一解。

伴随 $A^*$ ： $A A^*=A^*A=|A|E$ 。可逆时 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$ 。

(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{A}{|A|},\quad |A^*|=|A|^{n-1}\ (n\ge 2).

初等行变换相当于左乘初等矩阵。秩 $r(A)$ 等于非零子式最高阶，也等于行（列）向量组的秩。

\begin{aligned} r(A)&=r(A^T)=r(PAQ)\quad (P,Q\text{ 可逆}),\\ r(AB)&\le\min\{r(A),r(B)\},\\ r(A)+r(B)&\ge r(A+B),\\ r(A,B)&\le r(A)+r(B),\\ r(AB)&\ge r(A)+r(B)-n\quad (A\text{ 为 }n\text{ 列}). \end{aligned}

r(A^*)= \begin{cases} n,&r(A)=n,\\ 1,&r(A)=n-1,\\ 0,&r(A)\le n-2. \end{cases}

分块对角： $| \operatorname{diag}(A,B) |=|A||B|$ 。 $\begin{pmatrix}O&A_m\\ B_n&O\end{pmatrix}$ 的行列式为 $(-1)^{mn}|A||B|$ 。

线性相关：存在不全为零的组合等于零向量。部分相关则整体相关；整体无关则部分无关。 $n+1$ 个 $n$ 维向量必相关。 $n$ 个 $n$ 维向量无关 $\iff$ 以其为列的行列式非零。

$\beta$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性表示 $\iff r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)=r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta)$ 。

极大无关组：个数等于向量组的秩。等价向量组有相同的秩，且可互相线性表示。

过渡矩阵：新基 $=$ 旧基 $\times C$ ， $C$ 可逆。坐标 $X=CY$ （ $X$ 为旧坐标， $Y$ 为新坐标）。

施密特正交化：

\beta_1=\alpha_1,\quad \beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i.

再单位化 $\gamma_k=\beta_k/|\beta_k|$ 。

易错正交化减的是已得到的 $\beta_i$ ，不是原来的 $\alpha_i$ 。坐标变换 $X=CY$ 中 $C$ 是旧到新的过渡矩阵。

$Ax=b$ 。有解 $\iff r(A)=r(A,b)$ 。唯一解 $\iff$ 秩等于未知数个数 $n$ 。无穷多解时自由未知量个数为 $n-r$ 。

$Ax=0$ 的基础解系含 $n-r(A)$ 个无关解。通解是基础解系的线性组合。

非齐次通解 $=$ 特解 $+$ 导出组通解。

克拉默法则： $n$ 元线性方程组的系数矩阵满足 $|A|\neq 0$ 时， $x_i=|A_i|/|A|$ 。

$A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ， $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ 。特征方程 $|A-\lambda E|=0$ 。

\sum\lambda_i=\mathrm{tr}(A),\quad \prod\lambda_i=|A|.

不同特征值的特征向量线性无关。实对称矩阵：特征值全实，不同特征子空间正交，必可正交对角化 $Q^T AQ=\Lambda$ 。

相似： $B=P^{-1}AP$ 。相似矩阵有相同的特征多项式、特征值、迹、行列式、秩。对角化 $\iff$ 每个特征值的几何重数等于代数重数 $\iff$ 有 $n$ 个线性无关特征向量。

易错特征向量不能为零。相似对角化用 $P^{-1}AP$ ，实对称用 $Q^T AQ$ 。几何重数不超过代数重数。

$f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$ ， $A$ 为实对称。配方法或正交变换化为标准形 $\sum\lambda_i y_i^2$ 。惯性定理：正负惯性指数唯一。

正定 $\iff$ 所有主子式大于 $0$ $\iff$ 特征值全正 $\iff$ 正惯性指数为 $n$ 。半正定：特征值非负。规范形只含 $1,-1,0$ 。

用途判别正定、化标准形、约束极值。

易错合同与相似不同。正定判定用顺序主子式，不是任意主子式凑几个。