第十二章

概率论与数理统计

概率、分布、数字特征、估计与假设检验

数学二不考本部分。条目按数学一大纲书写。

事件运算与概率

德摩根律：

$\Omega$ 为必然事件，$\emptyset$ 为空事件，$\bar A$ 为 $A$ 的对立事件。$AB$ 表示积事件 $A\cap B$。

条件概率（$P(B)>0$）：

乘法公式：$P(AB)=P(A)P(B|A)$。全概率公式：设 $B_i$ 为完备事件组，

贝叶斯公式：

相互独立：$P(AB)=P(A)P(B)$。两两独立不能推出相互独立。

古典概型：样本点等可能。几何概型：概率等于长度、面积或体积之比。

易错 互不相容（互斥）不是相互独立。$P(A|B)$ 中 $B$ 已发生，样本空间缩到 $B$。全概率公式的 $B_i$ 必须构成完备事件组。

一维随机变量

分布函数 $F(x)=P\{X\le x\}$：右连续，单调不减，$F(-\infty)=0$，$F(+\infty)=1$。

离散型：分布列 $P\{X=x_k\}=p_k$，$\sum p_k=1$，$F(x)=\sum_{x_k\le x}p_k$。

连续型：概率密度 $f(x)\ge 0$，$\int_{-\infty}^{+\infty}f=1$，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f$，$P\{a<X\le b\}=\int_a^b f$。连续型 $P\{X=a\}=0$。

随机变量函数的分布：严格单调时 $Y=g(X)$ 的概率密度 $f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|$，其中 $h=g^{-1}$。

常见分布

标准化：$\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。泊松分布是二项分布 $n\to\infty$、$np\to\lambda$ 的极限。指数分布无记忆性：$P\{X>s+t\mid X>s\}=P\{X>t\}$。

易错 几何分布有的书从 $0$ 开始计数，数学期望会变成 $(1-p)/p$。指数分布参数有的书用 $\theta=1/\lambda$。计算前先看概率密度的写法。

二维随机变量

联合分布函数 $F(x,y)=P\{X\le x,\,Y\le y\}$。离散型用联合分布列 $p_{ij}$；连续型用联合概率密度 $f(x,y)$，$P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f$。

边缘概率密度：$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm{d}y$。条件概率密度：$f_{X|Y}(x|y)=f(x,y)/f_Y(y)$（$f_Y(y)>0$）。

相互独立 $\iff F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\iff$ 联合概率密度（或联合分布列）可写成边缘之积。

$Z=X+Y$：相互独立时概率密度为卷积 $f_Z=f_X*f_Y$。相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。

数字特征

独立时 $E(XY)=E(X)E(Y)$，$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$。

协方差 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。相关系数

$\rho=0$ 称不相关。相互独立 $\Rightarrow$ 不相关；二维正态时二者等价。一般不相关不必相互独立。

易错 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$，只有不相关才能去掉协方差。$E(X^2)$ 与 $[E(X)]^2$ 不要写反。

大数定律与中心极限定理

切比雪夫不等式：$P\bigl\{|X-E(X)|\ge\varepsilon\bigr\}\le D(X)/\varepsilon^2$。

切比雪夫大数定律：两两不相关、方差一致有界，则 $\bar X_n$ 依概率收敛于 $\mu$。

伯努利大数定律：频率依概率收敛于 $p$。辛钦大数定律：独立同分布且数学期望存在，则样本均值依概率收敛于数学期望。

棣莫弗－拉普拉斯定理：二项分布标准化后依分布收敛于 $N(0,1)$。

列维－林德伯格中心极限定理：独立同分布，数学期望与方差有限，则

依分布收敛于 $N(0,1)$，即渐近服从标准正态分布。

抽样分布

样本均值 $\bar X$，样本方差 $S^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$。

设 $X_i$ 独立同分布于 $N(\mu,\sigma^2)$，则

两独立正态总体：$F=\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$。

$\chi^2(n)$ 的期望 $n$、方差 $2n$。$t$ 分布偶函数。$F$ 分布 $F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=1/F_\alpha(n_2,n_1)$。

参数估计

矩估计：用样本矩代替总体矩。极大似然估计：使似然函数 $L(\theta)$ 达到最大的 $\hat\theta$，常对 $\ln L$ 求导。

无偏：$E(\hat\theta)=\theta$。$\bar X$ 是 $\mu$ 的无偏估计；$S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计，而 $\frac{1}{n}\sum(X_i-\bar X)^2$ 有偏。

单个正态总体：

均值、$\sigma^2$ 已知：$\bar X\pm u_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}$。

均值、$\sigma^2$ 未知：$\bar X\pm t_{\alpha/2}(n-1)S/\sqrt{n}$。

方差：$\bigl[(n-1)S^2/\chi^2_{\alpha/2}(n-1),\ (n-1)S^2/\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)\bigr]$。

两个正态总体可给出均值差、方差比的置信区间（大纲要求会求）。

易错 样本方差分母是 $n-1$。$\chi^2$ 分位数左右不对称，不能用 $\pm$。极大似然的定义域约束（均匀分布上限）要用单调性而不是求导。

假设检验

显著性检验：提出原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$，在 $H_0$ 成立时构造统计量，由显著性水平 $\alpha$ 确定拒绝域。

两类错误：第一类错误（弃真），$H_0$ 为真却拒绝，$P=\alpha$；第二类错误（取伪），$H_0$ 为假却接受。$\alpha$ 减小通常使第二类错误变大。

单个正态总体：均值用 $u$ 检验或 $t$ 检验，方差用 $\chi^2$ 检验。两个正态总体：均值差用 $t$ 检验，方差比用 $F$ 检验。

步骤 提出假设 → 选择统计量 → 给定 $\alpha$ 确定拒绝域 → 代入样本作出判断。

易错 双侧还是单侧由备择假设决定。不要把第一类错误理解成“$H_0$ 为假却接受”。