第八章

曲线积分与曲面积分数一

两类曲线积分与两类曲面积分

两类积分是数学一专属重点。对弧长、对面积的积分与方向无关；对坐标的积分与方向（侧）有关。

对弧长的曲线积分（第一类）

\int_L f(x,y,z)\,\mathrm{d}s.

物理：线密度为 $f$ 的曲线质量。与方向无关。

计算： $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),\ t\in[\alpha,\beta]$ ，

\mathrm{d}s=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,\mathrm{d}t, \quad \int_L f\,\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)|\mathbf{r}'(t)|\,\mathrm{d}t.

平面： $y=y(x)$ 时 $\mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d}x$ 。

易错参数区间必须从小到大。不要把 $\mathrm{d}s$ 写成 $\mathrm{d}x$ 。对称性可用，奇函数在关于原点对称的闭曲线上积分可能为 $0$ 。

\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z =\int_L\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}.

物理：变力沿路径做功。与方向有关，反向变号。

\int_L\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\int_\alpha^\beta\mathbf{A}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t.

此时参数按路径方向，不必从小到大。

与第一类的关系：

\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z =\int_L\bigl(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma\bigr)\,\mathrm{d}s,

其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 是有向切线的方向余弦。

易错第二类积分没有绝对值。参数方向必须与定向一致。闭合路径要标明正向。

\iint_\Sigma f(x,y,z)\,\mathrm{d}S.

质量、面积（ $f=1$ ）。与侧无关。

$z=z(x,y)$ ，投影 $D_{xy}$ ：

\mathrm{d}S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.

一般 $\mathbf{r}(u,v)$ ： $\mathrm{d}S=|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v$ 。

\iint_\Sigma P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =\iint_\Sigma\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}.

物理：流量。与侧有关。

投影法（ $z=z(x,y)$ ，取上侧）：

\iint_\Sigma R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =\pm\iint_{D_{xy}} R\bigl(x,y,z(x,y)\bigr)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y,

上侧取正，下侧取负。 $P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 、 $Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x$ 分别向 $yz$ 、 $zx$ 投影，符号由法向与该轴夹角的余弦决定。

换为第一类：

\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =(\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}^0)\,\mathrm{d}S.

用途计算流量。封闭曲面通常用高斯公式更简。

易错投影时曲面必须是该方向的单值投影，否则要剖分。符号由指定侧决定，不是由 $z$ 的正负自动给出。