第二章

一元函数微分学

求导、中值定理、泰勒公式、性态与曲率

导数定义

左导数、右导数分别用 $h\to 0^-$、$h\to 0^+$。可导当且仅当左右导数存在且相等。

几何 切线斜率。切线：$Y-f(x_0)=f'(x_0)(X-x_0)$；法线斜率为 $-1/f'(x_0)$（$f'(x_0)\neq 0$）。

用途 变化率、切线、单调性、用定义证明不可导。

易错 可导必连续，连续不必可导。$|x|$ 在 $0$ 连续不可导。分段函数要先看左右导数。

微分

$f$ 在 $x_0$ 可微：$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$。一元时，可微与可导等价，$A=f'(x_0)$，$\mathrm{d}y=f'(x)\,\mathrm{d}x$。

近似：$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$。

基本导数表

求导法则

复合：$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))g'(x)$。

反函数：若 $y=f(x)$ 可导，$f'(x)\neq 0$，则 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\dfrac{1}{f'(x)}$。

隐函数：$F(x,y)=0$，则 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{F_x}{F_y}$（$F_y\neq 0$）。

参数方程：$x=x(t),\ y=y(t)$，

易错 二阶导数分母是 $x'(t)$，不是 $[x'(t)]^2$ 直接套一次。对数求导适用于乘积、商、幂指函数 $u(x)^{v(x)}$。

高阶导数

莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}$。

常用：

费马引理与三大中值定理

费马引理 若 $f$ 在 $x_0$ 取极值且可导，则 $f'(x_0)=0$。

罗尔定理 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，$f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。

拉格朗日中值定理 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使

柯西中值定理 同样要求在闭区间连续、开区间可导，且 $g'\neq 0$，则存在 $\xi$ 使

用途 证明不等式、根的存在与个数、拉格朗日余项、函数增量估计。

易错 闭区间连续、开区间可导缺一不可。罗尔是拉格朗日的特例，拉格朗日是柯西的特例。

泰勒公式

拉格朗日余项：

积分余项见积分学。佩亚诺余项用于极限，拉格朗日余项用于估计与证明。

单调性与极值

$f'>0$ 严格增，$f'<0$ 严格减。驻点或不可导点为极值候选。

第一充分条件：经过 $x_0$ 时 $f'$ 由正变负，取极大；由负变正，取极小。

第二充分条件：$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)>0$ 取极小；$f''(x_0)<0$ 取极大；$f''(x_0)=0$ 失效，改用一阶或更高阶。

闭区间最值比较端点值与区间内极值。

凹凸与拐点

同济教材与考研数学：$f''>0$ 时曲线是凹的（开口向上，位于切线上方）；$f''<0$ 时曲线是凸的（开口向下）。拐点处凹凸性改变。$f''(x_0)=0$ 既非充分也非必要。

渐近线

水平：$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$，则 $y=A$。

铅直：$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，则 $x=x_0$。

斜：令 $a=\lim_{x\to\infty}f(x)/x$，$b=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-ax\bigr)$，若两极限都存在且 $a\neq 0$，则 $y=ax+b$。

易错 $a=0$ 时斜渐近线退化为水平。不要把不可去间断当铅直渐近线。

曲率与弧微分

数一

参数形式：

曲率半径 $R=1/K$。

用途 弧长、曲率半径、密切圆。

易错 分母是 $(1+y'^2)$ 的 $3/2$ 次，不是平方。不要丢掉绝对值。