高等数学 · 第二章

一元函数微分学

导数、微分、中值定理与函数性态

导数与微分

导数定义

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.

左导数、右导数分别用 $h\to 0^-$ 、 $h\to 0^+$ 。可导当且仅当左右导数存在且相等。

几何切线斜率。切线： $Y-f(x_0)=f'(x_0)(X-x_0)$ ；法线斜率为 $-1/f'(x_0)$ （ $f'(x_0)\neq 0$ ）。

物理导数表示瞬时变化率。相关变化率问题先写各变量之间的约束，再对时间 $t$ 求导。

用途变化率、切线、单调性、用定义证明不可导。

易错可导必连续，连续不必可导。 $|x|$ 在 $0$ 连续不可导。分段函数要先看左右导数。

微分

$f$ 在 $x_0$ 可微： $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ 。一元时，可微与可导等价， $A=f'(x_0)$ ， $\mathrm{d}y=f'(x)\,\mathrm{d}x$ 。

近似： $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ 。

一阶微分形式具有不变性：无论 $x$ 是自变量还是另一变量的可微函数，都有 $\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$ 。

基本导数表

\begin{aligned} (C)'&=0,& (x^\alpha)'&=\alpha x^{\alpha-1},& (a^x)'&=a^x\ln a,\\ (\mathrm{e}^x)'&=\mathrm{e}^x,& (\log_a x)'&=\frac{1}{x\ln a},& (\ln|x|)'&=\frac{1}{x},\\ (\sin x)'&=\cos x,& (\cos x)'&=-\sin x,& (\tan x)'&=\sec^2 x,\\ (\cot x)'&=-\csc^2 x,& (\sec x)'&=\sec x\tan x,& (\csc x)'&=-\csc x\cot x,\\ (\arcsin x)'&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},& (\arccos x)'&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\\ (\arctan x)'&=\frac{1}{1+x^2},& (\operatorname{arccot} x)'&=-\frac{1}{1+x^2}. \end{aligned}

求导法则

(u+v)'=u'+v',\quad (u-v)'=u'-v',\quad (uv)'=u'v+uv',\quad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.

复合： $\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))g'(x)$ 。

反函数：若 $y=f(x)$ 可导， $f'(x)\neq 0$ ，则 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\dfrac{1}{f'(x)}$ 。

隐函数： $F(x,y)=0$ ，则 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{F_x}{F_y}$ （ $F_y\neq 0$ ）。

参数方程： $x=x(t),\ y=y(t)$ ，

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y'(t)}{x'(t)},\quad \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{y'}{x'}\right)\Big/\ x'(t).

易错二阶导数分母是 $x'(t)$ ，不是 $[x'(t)]^2$ 直接套一次。对数求导适用于乘积、商、幂指函数 $u(x)^{v(x)}$ 。

对数求导时先写 $\ln|y|$ ，再对等式两侧求导；它适合多因子乘除或幂指函数。

高阶导数

莱布尼茨公式： $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}$ 。

常用：

\begin{aligned} (\sin x)^{(n)}&=\sin\bigl(x+n\pi/2\bigr),\\ (\cos x)^{(n)}&=\cos\bigl(x+n\pi/2\bigr),\\ (\mathrm{e}^{ax})^{(n)}&=a^n\mathrm{e}^{ax},\\ (\ln x)^{(n)}&=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}. \end{aligned}

微分中值定理及导数的应用

费马引理与三大中值定理

费马引理 若 $f$ 在 $x_0$ 取极值且可导，则 $f'(x_0)=0$ 。

罗尔定理 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导， $f(a)=f(b)$ ，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$ 。

拉格朗日中值定理 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使

f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).

柯西中值定理 同样要求在闭区间连续、开区间可导，且 $g'\neq 0$ ，则存在 $\xi$ 使

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.

用途证明不等式、根的存在与个数、拉格朗日余项、函数增量估计。

易错闭区间连续、开区间可导缺一不可。罗尔是拉格朗日的特例，拉格朗日是柯西的特例。

泰勒公式

拉格朗日余项：

f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.

积分余项见积分学。佩亚诺余项用于极限，拉格朗日余项用于估计与证明。

单调性、极值与函数图形

$f'>0$ 严格增， $f'<0$ 严格减。驻点或不可导点为极值候选。

第一充分条件：经过 $x_0$ 时 $f'$ 由正变负，取极大；由负变正，取极小。

第二充分条件： $f'(x_0)=0$ ， $f''(x_0)>0$ 取极小； $f''(x_0)<0$ 取极大； $f''(x_0)=0$ 失效，改用一阶或更高阶。

闭区间最值比较端点值与区间内极值。

描绘函数图形时依次检查定义域、奇偶与周期、间断点、渐近线、单调区间、极值、凹凸和拐点。

三次函数 y=x³−3x 及其两个极值点和一个拐点 — y=x³−3x 在 x=−1、1 处取得极值，在原点处改变凹凸性。图像由 Desmos 生成。

凹凸与拐点

本手册采用常见高等数学教材的约定： $f''>0$ 时曲线是凹的（开口向上，位于切线上方）； $f''<0$ 时曲线是凸的（开口向下）。拐点处凹凸性改变。 $f''(x_0)=0$ 既非充分也非必要。

渐近线

水平： $\lim_{x\to\infty}f(x)=A$ ，则 $y=A$ 。

铅直： $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$ ，则 $x=x_0$ 。

斜：令 $a=\lim_{x\to\infty}f(x)/x$ ， $b=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-ax\bigr)$ ，若两极限都存在且 $a\neq 0$ ，则 $y=ax+b$ 。

易错 $a=0$ 时斜渐近线退化为水平。不要把不可去间断当铅直渐近线。

曲率与弧微分

\mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d}x,\qquad K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}.

参数形式：

K=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}.

曲率半径 $R=1/K$ 。

曲率圆的半径等于 $R$ ，圆心位于曲线凹侧的法线上；曲率圆与原曲线在该点具有相同的切线和曲率。

用途弧长、曲率半径、曲率圆。

易错分母是 $(1+y'^2)$ 的 $3/2$ 次，不是平方。不要丢掉绝对值。