线性代数 · 第二章

矩阵

矩阵运算、逆、分块、初等变换与秩

矩阵与特殊矩阵

$m\times n$ 矩阵有 $m$ 行、 $n$ 列。同型矩阵行列数相同；对应元素相同才称矩阵相等。常见类型包括行矩阵、列矩阵、零矩阵、方阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵和上、下三角矩阵。

对称矩阵满足 $A^T=A$ ，反对称矩阵满足 $A^T=-A$ ；实反对称矩阵主对角线元素均为 $0$ 。

矩阵加法和数乘逐元素进行。 $AB$ 有定义要求 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数。矩阵乘法满足结合律和分配律，一般不满足交换律和消去律。

(AB)^T=B^TA^T,\qquad |AB|=|A||B|.

若 $AB=BA$ ，称 $A,B$ 可交换。矩阵多项式 $f(A)$ 由单位矩阵、 $A$ 的各次幂线性组合而成，同一矩阵的两个多项式彼此可交换。

易错 $AB=O$ 不能推出 $A=O$ 或 $B=O$ ； $AB=AC$ 也不能直接约去 $A$ 。

若 $AB=BA=E$ ，则 $B=A^{-1}$ 。方阵可逆的等价条件包括

|A|\ne0\iff r(A)=n\iff Ax=0\text{ 只有零解}.

可用定义、伴随矩阵公式或初等变换求逆：

A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*,\qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

矩阵方程 $AX=B$ 在 $A$ 可逆时有 $X=A^{-1}B$ ； $XA=B$ 时有 $X=BA^{-1}$ ，乘法顺序不能交换。

分块要保证对应块尺寸可运算。分块对角矩阵按块相乘、求逆：

\operatorname{diag}(A_1,A_2)^{-1} =\operatorname{diag}(A_1^{-1},A_2^{-1}).

分块三角矩阵的行列式等于对角块行列式之积。使用分块乘法时仍遵守“左行乘右列”。

初等行或列变换包括互换、非零倍乘和倍加。初等行变换相当于左乘初等矩阵，初等列变换相当于右乘初等矩阵。

阶梯形矩阵每个非零行的首个非零元逐行右移；最简阶梯形还要求主元为 $1$ ，且主元所在列其他元素为 $0$ 。任意矩阵可经初等变换化为标准形 $\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}$ 。

矩阵等价当且仅当秩相同，也当且仅当存在可逆矩阵 $P,Q$ 使 $B=PAQ$ 。

矩阵的秩是非零子式的最高阶，也等于其阶梯形中非零行的个数。

\begin{aligned} r(A)&=r(A^T)=r(PAQ),\\ r(AB)&\le\min\{r(A),r(B)\},\\ r(A+B)&\le r(A)+r(B),\\ r(AB)&\ge r(A)+r(B)-n. \end{aligned}

$m\times n$ 矩阵满秩指 $r(A)=\min(m,n)$ ；降秩矩阵指秩小于该上限。方阵 $A$ 满秩的充分必要条件是 $|A|\ne0$ 。

易错初等变换保持秩，但行列式的值可能改变。讨论行列式时必须记录变换对数值的影响。