线性代数 · 第五章

矩阵的相似化简

特征值、相似矩阵与对角化

特征值与特征向量

若 $Ax=\lambda x$ 且 $x\ne0$ ，则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值， $x$ 是对应特征向量。特征值由

|\lambda E-A|=0

求得，再解 $(A-\lambda E)x=0$ 得到对应特征向量。零向量永远不是特征向量。

\sum_{i=1}^n\lambda_i=\operatorname{tr}(A), \qquad \prod_{i=1}^n\lambda_i=|A|.

不同特征值对应的特征向量线性无关。若 $Ax=\lambda x$ ，则矩阵多项式满足 $f(A)x=f(\lambda)x$ 。

若存在可逆矩阵 $P$ 使 $B=P^{-1}AP$ ，则 $A,B$ 相似。相似矩阵表示同一线性变换在不同基下的矩阵。

相似矩阵具有相同的特征多项式、特征值、迹、行列式和秩，但元素、特征向量一般不同。

易错特征值相同不能推出矩阵相似。相似还要求各特征值对应的结构一致。

$A$ 可相似对角化，当且仅当它有 $n$ 个线性无关特征向量。把这些特征向量作为 $P$ 的列，则

P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).

若 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则一定可对角化。一般情况下，每个特征值的几何重数必须等于代数重数。

实对称矩阵的特征值都是实数，不同特征值的特征向量正交，且必可正交相似对角化：

Q^TAQ=\Lambda,\qquad Q^TQ=E.

构造 $Q$ 时，同一重特征值对应的特征向量也要先正交化并单位化。

易错一般相似对角化用 $P^{-1}AP$ ；只有正交矩阵才可把 $P^{-1}$ 写成 $P^T$ 。