概率论与数理统计 · 第二章

随机变量及其分布

分布函数、离散与连续分布、变量函数的分布

随机变量与分布函数

随机变量是定义在样本空间上的实值函数。分布函数

F(x)=P\{X\le x\}

单调不减、右连续，并满足 $F(-\infty)=0$ 、 $F(+\infty)=1$ 。区间概率为 $P\{a<X\le b\}=F(b)-F(a)$ 。

离散型随机变量用分布律 $P\{X=x_k\}=p_k$ 描述，要求 $p_k\ge0$ 且 $\sum_kp_k=1$ 。分布函数是右连续阶梯函数。

几何分布具有无记忆性。二项分布在 $n$ 大、 $p$ 小且 $np\approx\lambda$ 时可用泊松分布近似。

若存在非负函数 $f$ 使 $F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,\mathrm dt$ ，则 $f$ 为概率密度，并满足 $\int_{-\infty}^{+\infty}f=1$ 。连续型随机变量在单点取值的概率为 $0$ 。

易错概率密度值可以大于 $1$ ；只有区间上的积分才是概率。

分布	概率密度	期望	方差
均匀分布 $U(a,b)$	$1/(b-a)$	$(a+b)/2$	$(b-a)^2/12$
指数分布 $E(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda x},\ x>0$	$1/\lambda$	$1/\lambda^2$
伽马分布（ $\Gamma$ 分布） $\Gamma(\alpha,\lambda)$	$\dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}$	$\alpha/\lambda$	$\alpha/\lambda^2$
正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$	$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$	$\mu$	$\sigma^2$

指数分布是 $\alpha=1$ 的伽马分布，并具有无记忆性。正态标准化为 $(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$ 。

离散型随机变量逐个合并映射到同一新值的概率。连续型随机变量可先求分布函数；若 $Y=g(X)$ 严格单调，反函数为 $x=h(y)$ ，则

f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|,

并注意 $Y$ 的取值范围。

易错非单调变换要按各个反函数分支求和，不能只取一个根。