线性代数 · 第一章

行列式

定义、性质与常用计算方法

行列式的定义

二阶行列式 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。$n$ 阶行列式是所有取自不同行、不同列的 $n$ 个元素乘积的代数和。

余子式 $M_{ij}$ 删除第 $i$ 行、第 $j$ 列；代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。三角行列式的值等于主对角线元素之积。

范德蒙德行列式：

易错 行列式是数，不是矩阵。代数余子式比余子式多一个符号因子。

行列式的性质

• 转置不改变行列式。
• 交换两行或两列，行列式变号。
• 某行乘 $k$，行列式也乘 $k$；$|kA|=k^n|A|$。
• 一行的倍数加到另一行，行列式不变。
• 两行相同或成比例，行列式为 $0$。
• $|AB|=|A||B|$。

某行元素与另一行对应代数余子式乘积之和为 $0$。这是判断展开式真假的常见切入点。

行列式的计算

按第 $i$ 行展开：

低阶行列式可用对角线法则。一般计算优先用行列式性质制造零元素，再按行或列展开，或经初等变换化为三角行列式。

升阶法通过增加一行一列构造易计算结构；降阶法用展开式把 $n$ 阶化为低阶；含参数或递推结构时可建立相邻阶数关系，再结合初值求解。数学归纳法适合证明一般 $n$ 阶结论。

易错 行倍加不改变值，行倍乘会改变值，行互换会变号。连续做多次变换时要累计这些影响。