概率论与数理统计 · 第三章

多维随机变量及其分布

联合、边缘、条件分布与随机变量函数

多维随机变量

二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为

F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}.

二维离散型用联合分布律 $p_{ij}$ ；二维连续型用联合密度 $f(x,y)$ ，区域概率为 $\iint_Df(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$ 。 $n$ 维随机变量按同样方式定义联合分布函数。

边缘分布通过对另一变量求和或积分得到：

f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dy, \qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx.

二维正态分布的任一边缘分布仍为一维正态分布，但仅知道两个边缘分布不能唯一确定联合分布。

离散型条件分布律用联合概率除以对应边缘概率。连续型在 $f_Y(y)>0$ 时，

f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}.

固定条件变量后，条件密度对剩余变量的积分必须为 $1$ 。

$X,Y$ 独立当且仅当联合分布函数可分解为边缘分布函数之积。离散或连续型还可分别检验

p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}, \qquad f(x,y)=f_X(x)f_Y(y).

$n$ 个随机变量相互独立要求联合分布分解为全部边缘分布之积。两组随机变量相互独立时，分别由两组变量构成的可测函数也相互独立。

独立连续型随机变量之和使用卷积：

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx.

积或商的分布可作变量变换并乘雅可比绝对值。对相互独立的 $X_1,\ldots,X_n$ ，最大值 $M$ 和最小值 $m$ 的分布函数为

F_M(x)=\prod_{i=1}^nF_i(x), \qquad F_m(x)=1-\prod_{i=1}^n[1-F_i(x)].

独立同分布时分别化为 $[F(x)]^n$ 与 $1-[1-F(x)]^n$ 。

易错最大值事件是“所有变量都不超过 $x$ ”；最小值通常先算其对立事件。