概率论与数理统计 · 第七章

参数估计

点估计、评价标准与置信区间

以下记 $z_p,t_p(k),\chi^2_p(k)$ 为相应分布的 $p$ 分位数。

点估计

矩估计法用样本矩替代对应总体矩，再解参数。最大似然估计选择使联合似然函数

L(\theta)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta)

最大的参数值。常对 $\ln L$ 求导，但参数位于定义域边界时要结合单调性判断。

估计量 $\hat\theta$ 无偏指 $E(\hat\theta)=\theta$ 。在无偏估计量中，方差更小者更有效。相合性指样本容量增大时， $\hat\theta\xrightarrow{P}\theta$ 。

$\bar X$ 是总体均值的无偏估计， $S^2$ 是总体方差的无偏估计；分母为 $n$ 的样本离差平方和一般有偏。

随机区间 $(\hat\theta_L,\hat\theta_U)$ 以概率 $1-\alpha$ 覆盖未知参数，称置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间。置信水平描述重复抽样下区间构造方法的覆盖率，不是参数落入某个已算区间的概率。

对 $0$ - $1$ 分布参数 $p$ ，大样本近似区间为

\left( \hat p-z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}, \hat p+z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} \right).

总体方差已知时，均值的双侧置信区间：

\left( \bar X-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}, \bar X+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \right).

总体方差未知时：

\left( \bar X-t_{1-\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt n}, \bar X+t_{1-\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt n} \right).

总体方差的双侧置信区间：

\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)} \right).

只关心参数上界或下界时使用单侧区间。总体方差已知时，均值的置信下限和上限分别为

\bar X-z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt n}, \qquad \bar X+z_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt n}.

方差未知时把 $z$ 分位数换成相应自由度的 $t$ 分位数。方差的单侧界由 $\chi^2$ 枢轴量按同样方法解不等式得到。

易错双侧区间把 $\alpha$ 分到两端，单侧区间只留一个尾部；分位数不能混用。