概率论与数理统计 · 第六章

样本及抽样分布

随机样本、描述图形与正态总体抽样分布

随机样本

研究对象的全体构成总体，每个对象为个体，总体所含个体数为总体容量。来自总体 $X$ 的简单随机样本 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立且与总体同分布。

样本均值和样本方差为

\bar X=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i, \qquad S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2.

直方图每组矩形的面积表示该组频率；组距不等时，高度应使用频率密度，不能直接使用频数。

样本 $p$ 分位数把排序后的数据分成左右约占 $p$ 与 $1-p$ 的两部分。中位数是 $0.5$ 分位数，四分位数为 $Q_1,Q_2,Q_3$ 。

箱线图由 $Q_1$ 、中位数、 $Q_3$ 和须组成。四分位距 $IQR=Q_3-Q_1$ ；常用规则把低于 $Q_1-1.5IQR$ 或高于 $Q_3+1.5IQR$ 的观测标作异常值。

易错直方图纵轴可能是频数、频率或频率密度，要结合组距判断矩形面积的含义。

不含未知参数的样本函数称为统计量，其分布称为抽样分布。若 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ 且相互独立，则

\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1), \qquad \frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1).

$\bar X$ 与 $S^2$ 相互独立。两个独立正态总体满足

\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1).

$\chi^2$ 分布只取非负值， $t$ 分布关于 $0$ 对称， $F$ 分布只取正值。

易错样本方差使用分母 $n-1$ 。上述精确的 $t$ 、 $\chi^2$ 、 $F$ 结论依赖总体正态性。