概率论与数理统计 · 第五章

大数定律及中心极限定理

依概率收敛、大数定律与正态近似

大数定律

随机变量序列 $X_n$ 依概率收敛于 $X$，记为 $X_n\xrightarrow{P}X$，若对任意 $\varepsilon>0$，

辛钦大数定律：$X_1,X_2,\ldots$ 独立同分布且 $E|X_i|<\infty$ 时，样本均值依概率收敛于总体均值。

伯努利大数定律：重复独立试验中，事件发生的频率依概率收敛于其概率 $p$。

易错 大数定律说明均值或频率的稳定性，不说明单个随机变量趋于常数。

中心极限定理

独立同分布中心极限定理：若 $X_i$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2<\infty$，则

李雅普诺夫中心极限定理允许各变量不同分布。设它们独立，$E(X_i)=\mu_i$、$D(X_i)=\sigma_i^2$，$B_n^2=\sum\sigma_i^2$；若存在 $\delta>0$ 使

则标准化和依分布收敛于标准正态分布。

棣莫夫-拉普拉斯定理（也译棣莫弗-拉普拉斯）是二项分布的正态近似：

离散分布用正态近似时可作连续性修正，例如 $P(X\le k)$ 对应正态变量上界取 $k+0.5$。

易错 中心极限定理描述标准化“和”的分布，不是原变量本身变成正态分布。