概率论与数理统计 · 第八章

假设检验

检验步骤、正态总体检验与拟合检验

以下拒绝域均由备择假设的方向和显著性水平 $\alpha$ 决定。

假设检验的基本步骤

提出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$ ，在 $H_0$ 成立时构造已知分布的检验统计量，根据 $\alpha$ 确定拒绝域，再代入样本作出拒绝或不拒绝 $H_0$ 的判断。

第一类错误是 $H_0$ 为真却拒绝，概率受 $\alpha$ 控制；第二类错误是 $H_0$ 为假却未拒绝。固定样本量时，降低第一类错误通常会提高第二类错误。

易错 “不拒绝 $H_0$ ”不等于证明 $H_0$ 为真。单双侧由 $H_1$ 决定。

单个正态总体方差已知时使用

Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1).

方差未知时使用

T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1).

两个独立正态总体均值差在方差未知但相等时，使用合并方差的两样本 $t$ 统计量。成对数据先作差 $D_i=X_i-Y_i$ ，再对差值总体作单样本 $t$ 检验；不能把成对数据当成两个独立样本。

逐对比较法对多组均值作两两检验时，需要控制多次比较带来的第一类错误累积。

检验单个正态总体方差 $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$ 时，

\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1).

两个独立正态总体方差比较使用

F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)

（在 $H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 下）。双侧检验同时考察两端，单侧检验只考察与备择假设一致的一端。

将样本按类别或区间分组，记观察频数为 $O_i$ ，在 $H_0$ 下的理论频数为 $E_i=np_i$ ，则皮尔逊卡方统计量为

\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}.

检验完全指定的单个分布时，自由度通常为 $k-1$ ；若由样本估计了 $r$ 个参数，自由度为 $k-r-1$ 。理论频数过小时应合并相邻组。

易错卡方拟合检验使用频数，不是把样本值直接代入统计量。估计参数会减少自由度。