概率论与数理统计 · 第一章

概率论的基本概念

随机事件、概率模型、条件概率与独立性

随机事件

随机试验在相同条件下可重复，每次结果事先不能确定，但所有可能结果已知。样本空间 $\Omega$ 是全部样本点的集合，随机事件是样本空间的子集。

并事件 $A\cup B$ 表示至少一个发生，积事件 $AB=A\cap B$ 表示同时发生，差事件 $A-B$ 表示 $A$ 发生而 $B$ 不发生。对立事件为 $\bar A$ 。

\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B, \qquad \overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B.

互不相容指 $AB=\varnothing$ ，不能与相互独立混淆。

事件在 $n$ 次试验中出现 $n_A$ 次，频率为 $n_A/n$ 。概率满足非负性、规范性和可列可加性。

P(\Omega)=1,\quad P(\varnothing)=0,\quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB).

频率是样本结果，会随试验变化；概率是模型参数，不随某一次试验结果改变。

有限个样本点等可能时，古典概型概率等于有利样本点数除以全部样本点数。几何概型用长度、面积或体积之比计算，前提是样本点在对应区域均匀分布。

易错 “随机选取”不自动等于等可能。必须从题意确认均匀性。

当 $P(B)>0$ 时，

P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}, \qquad P(AB)=P(B)P(A\mid B).

若 $B_1,\ldots,B_n$ 构成完备事件组，则

P(A)=\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i),

P(B_j\mid A)= \frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i)}.

$P(B_j)$ 是先验概率，观察到 $A$ 后的 $P(B_j\mid A)$ 是后验概率。

$A,B$ 相互独立当且仅当 $P(AB)=P(A)P(B)$ 。多个事件相互独立要求任意非空子组的交事件概率都等于各概率之积。

两两独立不一定相互独立。若 $0<P(A)<1$ ，则 $A$ 不可能与自身独立。

易错互斥且概率均为正的事件一定不独立；独立事件可以同时发生。