线性代数 · 第六章

二次型

矩阵表示、合同变换、标准形与正定性

二次型及其矩阵表示

$n$ 元二次型可写成

f(x)=x^TAx,

其中 $A$ 取实对称矩阵。交叉项 $2a_{ij}x_ix_j$ 的系数要在矩阵的两个对称位置各填一半。二次型的秩定义为矩阵 $A$ 的秩。

只含平方项的形式为标准形；系数只取 $1,-1,0$ 的形式为规范形。

线性变换 $x=Cy$ 在 $C$ 可逆时称为可逆或非退化变换。代入二次型后，矩阵变为

B=C^TAC.

这种关系称为合同。合同矩阵具有相同的秩和正、负惯性指数，但不一定有相同特征值。合同初等变换必须对矩阵同时做对应的行、列变换。

易错相似变换是 $P^{-1}AP$ ，合同变换是 $C^TAC$ ，二者保持的量不同。

实二次型可用配方法或可逆线性变换化为标准形。实对称矩阵可用正交变换得到

Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).

标准形中正系数和负系数的个数分别为正、负惯性指数。惯性定理说明它们不随可逆线性变换改变。再对非零平方项缩放，可得到规范形。

对任意 $x\ne0$ 都有 $x^TAx>0$ ，则二次型正定， $A$ 为正定矩阵。实对称矩阵正定的等价条件包括：

负定时特征值全负，顺序主子式符号按 $(-1)^k$ 交替。半正定要求特征值均非负，但顺序主子式判据不能简单改成“均大于等于零”。

易错正定判据中的主子式是从左上角开始的顺序主子式。矩阵必须先确认是实对称矩阵。